摘要：歐氏幾何學不能處理自然界中非常復雜的形狀，這只能借助于分形幾何學。分形圖象壓縮就是利用分形幾何學的有關原理進行編碼，達到圖象壓縮之目的。

    關鍵詞：分形 收縮仿射變換 迭代函數系統

1 分形的概念

    分形（fractal）一詞是由分形理論的現代奠基人曼德爾布羅特在1975年造出來的，這個詞的拉丁詞根含義是“破碎的、分裂的”。分形幾何或分形理論研究的對象是那些很不規則而有自相似性的形狀。所謂很不規則是指粗糙、不光滑、破碎、扭曲、纏繞等特性。典型的代表是海岸線的形狀或者云彩、山峰、樹頁的形狀。傳統的鷗幾里德幾何處理的是直線、由直線段組成的多邊形、圓以及由不太復雜的函數定義的曲線。對于很不規則的形狀，傳統的幾何學就難以處理了。典型的例子如“不列顛的海岸線有多長”。若以傳統的方法測量，海岸線的長度將取決于所用量尺的長度。對較長的量尺，一些彎曲的細節就回被忽略，因而海岸線的長度就會較短；短的量尺可以量出一些細節，量出的海岸線就較長。如此推算下去，當量尺的長度很小時，由于海岸線的形狀極其復雜，量得的長度就會變得極大。

    看看由瑞典數學家科和在1904年設計的一段曲線：在單位長度的直線段E0中間，以邊長為1/3 E0的等邊三角形的兩邊去代替E0中間的1/3，得到E1（見圖1.1）。對E1的每條線段重復上述做法又得到E2，對E2的每段又重復，如此下去得到的極限曲線就是科和曲線。顯然，科和曲線處處是尖點，因而處處沒有切線；它的長度也不難證明是無窮的，因而傳統的幾何方法對科和曲線很難處理。

    波蘭數學家謝爾品斯基從平面二維圖形出發，用重復某一過程的辦法形成的曲線也是分形曲線的典型例子。如謝爾品斯基墊，它以一個三角形作為源圖形，以源三角形的1/4大小的倒三角形作為生成元。在源三角形中除去生成元，然后在剩下的3個三角形中重復這一步驟，得到9個更小的三角形，不斷重復上述步驟得到的極限曲線就稱為謝爾品斯基墊（見圖1.2）。

    分形理論和應用發展很快,但至今還沒有關于什么是分形的統一定義.一般公認法爾科納對分形定義的描述比較合理:

    * 分形應有精細的結構,有任意小比例的細節;

    * 它是如此的不規則,以至其局部和整體都不能用傳統的幾何語言來描述;

    * 分行通常有某種自相似的形式,可能是近似的或是統計的;

    * 其“分形維數"一般大于其拓撲維數;

    * 分形通常能以非常簡單的方法定義,由迭代方法產生。

    從科和曲線或謝爾品斯基墊的例子中不難看到以上特點，但“分形維數”值得一提。“分形維數”是一個表征分形復雜或粗糙程度的量，在歐氏幾何中，維數總是取整數，直線是一維，平面是二維，立體是三維。把歐氏維數的概念推廣，得到的就是分形維數定義之一的相似維數。推廣過程如下。在圖1.3中，以尺寸為ε的量尺測量大小為L的物體，量得的個數記為N， 

    則有N = （ L/ε）d

    其中d就是維數，從圖中可以看出，d分別為1，2，3。也可以認為：

    d = lnN / ln（L/ε）

    摘要：歐氏幾何學不能處理自然界中非常復雜的形狀，這只能借助于分形幾何學。分形圖象壓縮就是利用分形幾何學的有關原理進行編碼，達到圖象壓縮之目的。

    關鍵詞：分形 收縮仿射變換 迭代函數系統

1 分形的概念

    分形（fractal）一詞是由分形理論的現代奠基人曼德爾布羅特在1975年造出來的，這個詞的拉丁詞根含義是“破碎的、分裂的”。分形幾何或分形理論研究的對象是那些很不規則而有自相似性的形狀。所謂很不規則是指粗糙、不光滑、破碎、扭曲、纏繞等特性。典型的代表是海岸線的形狀或者云彩、山峰、樹頁的形狀。傳統的鷗幾里德幾何處理的是直線、由直線段組成的多邊形、圓以及由不太復雜的函數定義的曲線。對于很不規則的形狀，傳統的幾何學就難以處理了。典型的例子如“不列顛的海岸線有多長”。若以傳統的方法測量，海岸線的長度將取決于所用量尺的長度。對較長的量尺，一些彎曲的細節就回被忽略，因而海岸線的長度就會較短；短的量尺可以量出一些細節，量出的海岸線就較長。如此推算下去，當量尺的長度很小時，由于海岸線的形狀極其復雜，量得的長度就會變得極大。

    看看由瑞典數學家科和在1904年設計的一段曲線：在單位長度的直線段E0中間，以邊長為1/3 E0的等邊三角形的兩邊去代替E0中間的1/3，得到E1（見圖1.1）。對E1的每條線段重復上述做法又得到E2，對E2的每段又重復，如此下去得到的極限曲線就是科和曲線。顯然，科和曲線處處是尖點，因而處處沒有切線；它的長度也不難證明是無窮的，因而傳統的幾何方法對科和曲線很難處理。

    波蘭數學家謝爾品斯基從平面二維圖形出發，用重復某一過程的辦法形成的曲線也是分形曲線的典型例子。如謝爾品斯基墊，它以一個三角形作為源圖形，以源三角形的1/4大小的倒三角形作為生成元。在源三角形中除去生成元，然后在剩下的3個三角形中重復這一步驟，得到9個更小的三角形，不斷重復上述步驟得到的極限曲線就稱為謝爾品斯基墊（見圖1.2）。

    分形理論和應用發展很快,但至今還沒有關于什么是分形的統一定義.一般公認法爾科納對分形定義的描述比較合理:

    * 分形應有精細的結構,有任意小比例的細節;

    * 它是如此的不規則,以至其局部和整體都不能用傳統的幾何語言來描述;

    * 分行通常有某種自相似的形式,可能是近似的或是統計的;

    * 其“分形維數"一般大于其拓撲維數;

    * 分形通常能以非常簡單的方法定義,由迭代方法產生。

    從科和曲線或謝爾品斯基墊的例子中不難看到以上特點，但“分形維數”值得一提。“分形維數”是一個表征分形復雜或粗糙程度的量，在歐氏幾何中，維數總是取整數，直線是一維，平面是二維，立體是三維。把歐氏維數的概念推廣，得到的就是分形維數定義之一的相似維數。推廣過程如下。在圖1.3中，以尺寸為ε的量尺測量大小為L的物體，量得的個數記為N， 

    則有N = （ L/ε）d

    其中d就是維數，從圖中可以看出，d分別為1，2，3。也可以認為：

    d = lnN / ln（L/ε）