摘要：介紹一種在8096/96系列單片機上實現的單精度浮點數快速除法。該算法采用了預估一修正的數值計算方法，并充分利用了16位CPU中的乘除法指令，計算速度快、精度高，有很強的實用性。

    關鍵詞：浮點數 除法 尾數 預估-修正 誤差 精度

在較為復雜的單片機系統中，為擴大取值范圍，實現復雜的計算和控制，一般都要涉及浮點數的運算。而一般單片機是沒有浮點數運算指令的，必須自行編制相應軟件。在進行除法計算時，通常使用的方法是比較除法[1],即利用循環移位和減法操作來得到24～32位商，效率很低。有些文獻給出了一些改進方法[2]，但思想不清晰，很難推廣使用。這里給出一種浮點數除法運算的實用快速算法。該方法以數值計算中的預估-修正方法為指導，充分利用了16位單片機的乘除法功能，很輕易地實現了浮點數的除法。

1 浮點數格式

IEEE的浮點數標準規定了單精度（4字節）、雙精度（8字節）和擴展精度（10字節）三種浮點數的格式。最常用的是單精度浮點數，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個字節單元內，不易尋址，從而會影響運算速度。

通常在單片機上采用的是一種變形格式的浮點數，如圖2所示。其中的23位尾數加上隱含的最高位1，構成一個定點原碼小數，即尾數為小于1大于等于0.5的小數。有關浮點數格式的詳細內容請參考有關文獻[1][2]。

2 快速除法的算法原理

在16位單片機中只有16位的乘除法，而浮點數的精度（即尾數的有效位數）達24位，因此無法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來實現24位除法。不過，如果只進行一次16位的除法必定會帶來很大誤差，因此問題的關鍵在于如何消除這個誤差，從而達到要求的精度。這其實就是通常數值計算中所采用的預估-修正方法。

假設兩個浮點數經過預處理后，被除數和除數尾數擴展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，并記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

（X/Y）/（X/YH）=(YH/Y)

=YH/(YH+YL)

=1/(1+YL/YH)

≈1-YL/YH

=(YH-YL)/YL

可見只需要在X/YH的基礎上再乘以一個修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校準值。不難證明這個值已經達到了24位的精度要求。事實上，相對誤差滿足：

    這說明這個一次校準值完全可以作為最終的結果。

3 算法的具體實現

在具體實現本算法時，主要經過下列步驟：

（1）計算預估值Q0=X/YH；

（2）計算修正因子Q1=(YH-YL)/YH;

（3）計算校準值Q=Q0×Q1，并作為最后結果。

這里的YH雖仍是32