丁 穎 韓 冬

     來源：《電子技術應用》

     摘要：提供了一種每周波四點采樣的最小二乘方濾波器，通過整型變換和查表求根等優化算法，可在單片機中實現相量的快速測量。分析了濾波器中相量的相位關系，并提供了兩線制功率的計算方法。

     關鍵詞：最小二乘方濾波器

     向量 單片機 功率

     目前，以單片機為基礎的數字式電氣測量、保護裝置已成為主流形式。交流信號直接采樣也已成為一種普通的方法。快速傅立葉算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，計算量很大，特別是在單片機的處理能力有限的情況下，既要保證實時性，又要保證計算速度，不經過精心設計和程序優化，很難保證二者的統一。

     通過減少采樣次數、使用每周濾四個采樣點擬合的濾波器和一套優化措施，使該算法計算速度大大提高，可以勝任工頻向量的實時測量，因而可以用于過流、速斷、方向保護等多個方面。本文分析了濾波器中的向量相位關系，同時給出了以此為基礎的兩線制功率計算舉例。該方法已通過實際應用檢驗。

     1 最小二乘方濾波器的構造

     根據文獻[1～3]的研究結果，對每一路信號，輸入電壓函數可表示為：

     式中：

     p0——直流分量值

     pk——第k次諧波分量的幅值 k=1,…，n

     θk——第k次諧波的相對起始相角

     k=1，…，n

     ω——基波角頻率，ω=2πf,f=50hz

     λ——常數，等于直流分量衰減時間常數

     在一般測量、保護應用中，只關心基波成分。為減少計算量，應最大限度地減少采樣次數。根據采樣定理，一個正弦函數的離散采樣次數量少每周波3次。為方便起見，將每周波采樣次數定為4次，即采樣周期為5ms。則公式（1）中只能包含直流和工頻分量。將直流分量按泰勒級數展開并取其前兩項，則（1）式成為：

     u(t)=p0-p0λt+p1sin(ωt)cos(θ1)+p1cos(ωt)sin(θ1)

     (2)

     其中，p0為直流分量值，p1為基波峰-峰值，θ1為基波分量在采樣時刻相對于零點的相位角。

     若以最近連續4次采樣值為樣本，可得到4個采樣方程。如將p0、-p0λ、p1cos(θ1)p1sin(θ1)作為待測未知數，可將4個采樣方程表示成如下矩陣：

     若分別用符號a表示系數矩陣，x表示未知參數向量，u表示采樣值，則：

     x=a -1u (3)

     其中a-1表示a的逆矩陣，亦即向量x的最小二乘方濾波器。根據文獻[3]，這個濾波器為：

     因此，

     p1cos(θ1)=∑a-1[3][i]u[i]

     i=1,4 (4)

     p1sin(θ1)=∑a-1[4][i]u[i]

     i=1,4 (5)

     cos(θ1)=p1cos(θ1)/p1

     (6)

     sin(θ1)=p1sin(θ1)/p1

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